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乘法，是指將相同的數加起來的快捷方式。其運算結果稱爲積，“x”是乘號。從哲學角度解析，乘法是加法的量變導致的質變結果。整數（包括負數），有理數（分數）和實數的乘法由這個基本定義的系統泛化來定義。

乘法也可以被視爲計算排列在矩形（整數）中的對象或查找其邊長度給定的矩形的區域。 矩形的區域不取決於首先測量哪一側，這說明了交換屬性。 兩種測量的產物是一種新型的測量，例如，將矩形的兩邊的長度相乘給出其面積，這是尺寸分析的主題。

來源

乘法是算術中最簡單的運算之一。 最早來自於整數的乘法運算。

什麼是乘法

乘法是四則運算之一

例如4乘5，就是4增加了5倍率，也可以說成5個4連加。

古巴比倫人很早就發現，1/7是一個無限小數，怎麼除也除不完。古巴比倫的倒數表裏所有的數都是精確的小數，它們（在60進制中）都是有限小數。碰到無限小數時，他們會用取近似值的方法來解決。

“小九九”的由來

《九九乘法歌訣》，又常稱爲“小九九”。現在學生學的“小九九”口訣，是從“一一得一”開始，到“九九八十一”止，而在古代，卻是倒過來，從“九九八十一”起，到“二二得四”止。因爲口訣開頭兩個字是“九九”，所以，人們就把它簡稱爲“九九”。大約到13、14世紀的時候才倒過來像現在這樣“一一得一……九九八十一”。

中國使用“九九口訣”的時間較早。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《戰國策》等書中就能找到“三九二十七”、“六八四十八”、“四八三十二”、“六六三十六”等句子。由此可見，早在“春秋”、“戰國”的時候，《九九乘法歌訣》就已經開始流行了。

使用鉛筆和紙張乘數的常用方法需要一個小數字（通常爲0到9的任意兩個數字）的存儲或查詢產品的乘法表，但是一種農民乘法算法的方法不是。

將數字乘以多於幾位小數位是繁瑣而且容易出錯的。發明了通用對數以簡化這種計算。幻燈片規則允許數字快速乘以大約三個準確度的地方。從二十世紀初開始，機械計算器，如Marchant，自動倍增多達10位數。現代電子計算機和計算器大大減少了用手倍增的需要。

歷史算法

在埃及，希臘，印度和中華文明中記載了繁殖方法。

公元前約公元前十八萬公元至二千零二十年的三叉骨，暗示了中非舊石器時代上升的知識。

埃及人

在阿姆斯紙莎草紙中記載的埃及整數和分數乘法的方法是連續添加和加倍。例如，要找到13和21的乘積，必須雙倍21次，得到2×21 = 42，4×21 = 2×42 = 84,8×21 = 2×84 = 168.完整的產品可以然後通過添加在雙倍序列中找到的適當術語來找到：

13×21 =（1 + 4 + 8）×21 =（1×21）+（4×21）+（8×21）= 21 + 84 + 168 = 273。

巴比倫人

巴比倫人使用了一個十六進制位置數字系統，類似於現代十進制。因此，巴比倫的乘法非常類似於現代十進制乘法。由於記憶60×60不同產品的相對困難，巴比倫數學家使用乘法表。這些表由某個主體號n：n，2n，...，20n的前20個倍數列表組成。其次是10n：30n 40n和50n的倍數。然後計算任何六進制產品，例如53n，只需要從表中計算出50n和3n。

中國人

在公元前300年前的數學文本《周髀算經》和《算術九章》中，乘法計算用字寫出，雖然早期的中國數學家使用了涉及加法，減法，乘法和除法的羅德微積分。 Al Khwarizmi在9世紀初向阿拉伯國家介紹了這些地名十進制算術算法。

意義

3×5表示5個3相加

5x3表示3個5相加。

注意：1、在如上乘法表示什麼中，常把乘號後面的因數做爲乘號前因數的倍數。

2、參見wiki中對乘數和被乘數的定義

另：乘法的新意義：乘法不是加法的簡單記法

Ⅰ 乘法原理：如果因變量f與自變量x1,x2,x3,…之間存在直接正比關係並且每個自變量存在質的不同，缺少任何一個自變量因變量f就失去其意義，則爲乘法。

在概率論中，一個事件，出現結果需要分n個步驟，第1個步驟包括M1個不同的結果，第2個步驟包括M2個不同的結果，……，第n個步驟包括Mn個不同的結果。那麼這個事件可能出現N=M1×M2×M3×……×Mn個不同的結果。

Ⅱ 加法原理：如果因變量f與自變量(z1,z2,z3…, zn)之間存在直接正比關係並且每個自變量存在相同的質，缺少任何一個自變量因變量f仍然有其意義，則爲加法。

在概率論中，一個事件，出現的結果包括n類結果，第1類結果包括M1個不同的結果，第2類結果包括M2個不同的結果，……，第n類結果包括Mn個不同的結果，那麼這個事件可能出現N=M1+M2+M3+……+Mn個不同的結果。

以上所說的質是按照自變量的作用來劃分的。

此原理是邏輯乘法和邏輯加法的定量表述。

整數的乘法運算滿足：交換律，結合律， 分配律，消去律。

隨着數學的發展， 運算的對象從整數發展爲更一般羣。

羣中的乘法運算不再要求滿足交換律。 最有名的非交換例子，就是哈密爾頓發現的四元數羣。 但是結合律仍然滿足。

1、乘法交換律：ab=ba，注：字母與字母相乘，乘號不用寫，或者可以寫成·。

2、乘法結合律：(ab)c=a(bc)，

3、乘法分配律：(a+b)c=ac+bc。

其他說法

在羣上再裝備另一種乘法， 則發展成爲“環”， 兩種乘法中的一種可以視爲傳統意義上的加法，因此要求滿足分配律和交換律；但是另一種“乘法”卻不要求交換律。

在環裏面，我們不再要求消去律成立。 如果這個環有消去律，就叫做整環。

但是對於環來說， 不一定有“除法”的概念。 如果環有除法的話，就叫做“域”。

域是最接近我們平時所說的有理數集合的東西。 但是它包含了更多信息。

結合律

前面講的這些代數對象的乘法都滿足結合律。 實際上數學發展到後來， 產生了一些不滿足結合律的乘法。

最經典的就是所謂的李(Lie)括號

巧算

乘法是數學中基本運算之一。假設a乘b等於c，即記爲ab = c或a·b =c。

中國古代利用算籌進行乘法計算。籌算乘法分三層：上位是被乘數，中位是積，下位是乘數。先由乘數的最大一位去乘被乘數，乘完後去掉這位的算籌，再用第二位數去乘，兩次之積對應位上的數相加，乘完爲止。例如81 × 81，先把乘數和被乘數分別放在上位和下位，如圖（a）。用80去乘81得6480，「8」用完了，便掉去，如圖（b）。再用1去乘81得81加到6480上，即等於6561，「1」亦用完了，便掉去，得圖（c）。

（a）（b）（c）

計算的層次就是把多位數變爲用單位數去乘多位數，乘一位加一位，基本原理與現在通用的筆算乘法完全一樣，只是使用乘數的次序與現在作法相反。