孩子數學思維啓蒙中的難點，家長究竟應該怎麼破解？

今天和大家聊聊孩子思維數學學習中的困惑與對策。”有些機械的重複教育，最終會導致孩子出現假聽、假說、假讀、假寫的情況，換一種說法，也就是孩子是靠記憶而不是靠思維掌握了相關的知識，孩子進入記憶學習層面，卻不能進入思維學習層面。

那麼，真正好的數學思維啓蒙，應該是什麼樣的呢？根據我多年的教學經驗，以下三點是最重要的——

發掘最本質的樂趣

其實數學學得好的孩子，往往都是在數學學習中尋找到樂趣的幸運兒，他們憑着天生對抽象和數字的敏感性，在學習的名義下，找到了一種“玩”的方式，更妙的是，這種“玩”的方式還能得到老師、家長的表揚和青睞，這是多麼美妙的一件事啊！學霸應運而生絲毫不令人意外。

那麼，這些學霸們到底在數學中玩了一些什麼呢？

其實每個年齡段，孩子玩數學的內容都不同，樂趣也不盡相同。比如，說一下——

數學啓蒙中的經典遊戲：躲貓貓

著名的瑞士發展心理學家皮亞傑管這個理論就叫做“客體永久性”，他表示，寶寶在最初2年都是在“學習”這個理論，躲貓貓絕不僅僅是個遊戲，它能幫助寶寶反覆測試存在的理論基礎——即事物不會因爲看不見而不存在，如果用看不懂的話說就是——“兒童具備了，脫離對物體的感知而仍然相信該物體持續存在的意識”。

這個就是數學學習基礎中的基礎。

如果孩子對客觀世界不能形成一個穩定存在的概念，那他全部的大腦資源都會用來去應付紛繁複雜的眼前變化。從而根本不能從眼前事物抽象出數學概念。

等孩子稍大一點，分東西，放東西，藏東西又成爲他們的樂趣，同樣的在這些玩樂的背後，依然蘊藏着數學啓蒙的認知邏輯。

舉個例子：

學習運算的前概念：分東西

把小豆子分到不同的碗裏，把蘋果分給你和我。“分”是一個非常重要的動作概念。這既是部分和整體概念形成的核心，也是學習運算的前概念。孩子理解和學習抽象事物，不是光從物體的表面屬性中汲取的，而是通過運動和操作學習的。

再來舉個例子：

如何用積木讓孩子理解加減法

我們常常看到父母用一塊積木代表“1”，用另一塊積木代表另一個“1”,想要用實物告訴孩子“1+1=2”的數學概念，卻發現怎麼說孩子都不明白。

這種情況，大部分是家長本身忘記了“+”這個抽象概念，或者想講但是講不清楚“+”的意義。這是爲什麼呢？因爲“1”你已經用積木來表徵了，孩子能夠看到，並且能夠想象，但是“+”不是一個實物，家長沒有辦法用具體物品來表達。

一種可行的方法是，通過動作來表徵“+”，比如把兩塊積木用手攏到一起，來表達“變成一起的”這樣一個概念，同時告訴孩子，這種變化叫做“+”，孩子馬上就明白了——“+”就是兩個集合中數的合併。

這裏有兩個關鍵因素：

一個是讓孩子關注到具體變化（運動），進而理解抽象（想象中）事物的變化。原來是怎麼樣的？最後變成什麼樣？然後去思考過程中是怎麼變化的；

二是讓孩子關注到變化所形成的事物關係，以及形成的數字關係。比如“1和2的區別，三角形和正方形的相同點和不同點”，又比如：“341”這個三位數中，每個數位上數之間有啥關係？，兩個數之間的倍數、多少、大小都體現了彼此的抽象關係。

我們傳統的學習方法是從認知概念入手，通過練習達到理解，理解後再通過更大量的練習到達融會貫通的應用階段。這種方法好像在沙漠中拓荒，學習效果十分不理想，因爲孩子對知識的理解是點狀的、固態的和片面的，並且不是內驅動性的。

對於真正的學習者而言，他們會從大量的“玩”中構建自己對概念的理解，再把概念放到解決具體問題中進行應用，從而昇華自己所學習到的，他們在玩中建立了抽象概念對自己的意義，把他們頭腦中的東西變成了自己的。

所有的概念本來就是從大量實際操作中提煉出來的，我們希望讓孩子少走彎路，希望先在他們腦中植入概念，再進行理解，其實是緣木求魚。而玩的過程，享受玩的樂趣的過程，就是知識建構過程，好像大樹的生長，看到的只是表面，根的生長我們看不見，這個根就是玩。

數學學習來說，更是如此，認知心理學告訴我們，動作水平的操作是兒童抽象邏輯思維發展的途徑。兒童在操作活動中，可以獲得對應、多少等邏輯的經驗，這些邏輯經驗起初依賴於具體的、外在的動作，逐漸發展成爲一種心理動作。

孩子只有大量的數理遊戲經驗和操作經驗，纔有抽象昇華的基礎和可能，而這種昇華的經驗則是數學學習中最大的樂趣，也是本質性的樂趣。

對孩子而言，他們經過苦思冥想，忽然有一道亮光擊中他們，好像宇宙鴻蒙初開的那一瞬間，一切事物都豁然開朗，他們突然遇見了一個新世界（可以抽象的舉一反三了），所有之前無意識的玩都有了意義，數字在對他們說話，在表達，那麼這事就成了。

不知道大家注意到了沒有，大多數的“牛蛙”基本都是非常會玩的，他們不是光數學好，往往都是全面發展的，原理就在此——他們在學習中獲得了高峯體驗，獲得了本質的樂趣。

所以，關於數學學習的樂趣，個人總結下來有三點：

1.萬物皆動—世界一切事物都在變化，我們能夠觀察到變化，也能認識變化，並引發變化。

2.萬物互聯—樂於觀察、探索和理解具體事物之間關係，進而探索數字之間的抽象關係。

3.萬物皆數—樂於通過抽象數字來理解具體事物規律，又能運用想象從抽象中還原具體事物。

這三者，最核心的樂趣，就是抽象的想象力。

用數學的眼界看世界

有很多家長會把數學單純的理解爲數字和計算，更進一步的說，家長會把孩子的數字認知歸結爲會認、會讀、會寫、會數、會算，而把計算歸結爲讀題準確、結果正確和速度快。所以綜上所述，數學的學習就是會認、會讀、會寫、會數、會算，讀題準確、結果正確和速度快。

這種觀念究竟對不對呢？這裏我們來仔細分析一下。

先說“會認、會讀、會寫、會算”。大家知道，“數”，本來不是這個客觀世界的真實產物，也不是具體事物，而是人基於客觀事物形成的一種概念，是抽象而主觀的，是數量關係在大腦中的反映。

簡單來說，“數”就是想象出來的概念，且是事物本質層面的概念。

而我們剛纔說到的“會認、會讀、會寫、會算”的“認、讀、寫”都是數字表象層面的認知，而單純數數，大部分的孩子也是照本宣科、有口無心、機械記憶,並沒有理解數字本質的核心意義，然後我們跳過了本質理解和認知構建，直接讓孩子進入了“算”這個應用層面的操作，這樣對客觀世界經驗非常欠缺的孩子而言，理解數字就變得非困難了。

那數字本質層面的理解是怎麼樣的呢？

1、2、3、4、5、6，哪個數字比較特別？

大家覺得這六個數字哪一個數字比較特別？

我相信有人會說“1”，因爲“1”代表了萬物起頭，“一生二、二生三，三生萬物”。也會有人說“2”，因爲這是自然數中最小的偶數，也是最小的素數，哥德巴赫猜想怎麼說來着？“是否每個大於2的偶數都可寫成兩個素數之和？”或者有人會說是“3”，因爲“3”形成了多樣性，最小的形狀是3角形，基本的顏色是紅黃藍，事物發展的過程是開始、經過和結局，上帝的特質是三位一體，三生萬物。等等……

但是，古希臘人卻認爲“6”是特別的，你看，“6”可以分成1份，2份和3份，並且1+2+3=6,所以，他們把“6”稱爲“完美的數字”，第二個完美的數字是“28”,然而第三個完美的數字則變成了496。如果我們把這些告訴孩子，並讓他們去自我探索，大家覺得這種方法和我們剛纔講的“會認、會讀、會寫”有什麼不同的地方？

的確，古希臘人所關注的不只是數字本身，而是數字之間的關係，用數字間關係的視角去引導孩子理解數字，建構數字概念，孩子所認識的數字就不會是割裂的，而是有聯繫和有意義的。

大家需要注意的是，我們的大腦只會記住有意義的事物，而對無意義的事物很快就會淡忘。數字作爲抽象的符號，如果不能在孩子心中建構出意義來，是沒有辦法讓孩子真正掌握的。剛纔說到數學學習的樂趣之一“萬物互聯”就是這個意思——關係產生意義。

數學前概念構建有多重要

有的家長或許會有疑問，這樣的內容對孩子數學啓蒙來說是否太難了?

其實真正的啓蒙的確可能要更爲基礎，比如：

抓一把小石子，請孩子放進若干個小紙杯，每個紙杯放一顆。等孩子熟練了，可以嘗試每個紙杯放兩顆。

再換一種方式，和孩子一起數數，從1個1個數，到2個2個數，再到3個3個數，123，456，789……

還可以和孩子玩變魔術的遊戲——放7塊小積木在孩子面前，請孩子閉上眼睛，然後用紙杯蓋住2個，請孩子猜猜剛纔魔術師變走了幾塊積木等等。

這些數學活動，滲透了加減乘除的核心，以及數與數之間的關係本質，眼界不僅僅釘在表面的、現象的、刻板的數學知識，而是通過多側面活動來影響構建孩子內部對數字的認知，當孩子正式學習數學知識的時候，理解起來事半功倍，我們把這些稱爲數學前概念的構建。

而當孩子們長的更大一些以後，我們需要幫助他們更深入的去探索數學本身的規律性，並且更重要的是，要幫助他們把數學和世界做更多的鏈接。

回到“眼界”這個主題——在數學學習上，我們的孩子不但需要有深入思考問題的能力，更需要學會用數學的眼光看世界，學會用數學方法解決實際問題。不僅僅把“眼界”停留在題目上，不光是數字和計算，而是應該把眼界放大到真實的世界上。通過世界現象理解數學的本質，這樣往往能夠使我們的孩子觸類旁通，獲益更多。

讓我們打開一扇窗，看看《全美數學教師理事會》（NCTM）爲了拓展孩子數學境界所編寫的框架，NCTM提出有關學校數學教育中應當重視的諸多方面的建議標準，闡述了在建構主義教學觀指導下，孩子應該學習掌握什麼樣的數學，其中包含了兩大模塊：

數學內容標準；

數學過程標準。

這兩者，前者表述了孩子應該學習的數學內容，後者是強調了獲得和應用知識的方法，兩下交叉融合，大致內容包括：

所以，我們大概可以想象，在這種數學學習的指導思路下，孩子數學學習的廣度和寬度所涉及的範圍會是怎樣的，孩子的眼界和思維又會得到怎樣的提升，或許在數學學習的起步階段，這些孩子的計算能力的確會遠遠落後我們的孩子，但是隨着年齡的增長，他們的思維能力會超越我們的孩子，因爲我們孩子的眼界停留在計算中，禁錮在碎片化的知識結構中。

發展到今時今日，現代數學已經是一個非常龐雜的系統，遠遠超過了我們對數學傳統的認識。數學不光是代數、幾何、分析這幾門經典學科，從大類分，一個分支是純粹數學，另一個分支是應用數學，純粹數學越來越抽象，而且在深入的基礎問題討論中顯得“神叨叨”，我們基本看不懂。應用數學中更是包羅萬象，形成了數學物理、生物數學、數理經濟學、統計學、運籌學、控制論等新興學科。

但是，這些學科的結構和發展，與孩子的數學學習相比，完全不是一回事。數學研究是用原理證明現象和問題，數學應用是用原理解決問題，而數學學習是通過現象理解原理，並進行實踐應用。

在我們傳統的數學教育中，數學作爲一種既定的學科經驗出現在孩子們面前，基本是套用學科研究或者數學應用的知識結構來進行學習，這在心理學中被稱爲學科中心主義。說的是以本學科的學術框架爲中心和價值來選擇學習內容和研究對象。學習的基本路徑是從前人總結的抽象概念入手，達到表象（形式）理解，從表象理解通過大量練習進到本質的理解，再回來進行應用來驗證學習理解的程度。

簡單來說就是先說概念、再舉例子、大量練習，最後考試！而結果往往最後異化爲做題！做題！做題!

我們的孩子通過這種方式學習數學，很難建立起學習的意義，也不可能建立數學和真實世界的聯繫，除了一些天才兒童，大多數孩子學到的是表象的數學知識，而無法理解數學本質，更無法建立數學思維，自然反而會越學越笨了。

所以，究竟該爲孩子選擇什麼樣的數學學習方式，的確需要我們好好思考。

把握時機啓動“機會之窗”

我想，會有家長問：“我也同意目前的學校教育不能滿足孩子發展需要，但是作爲家長，除了爲孩子報課外的學習班，又該如何幫助孩子呢？”

這的確是一個非常難解的問題，涉及的方面很多，有教育制度層面，社會結構層面，家長、學校的認識問題，還有孩子個體差異性等等，我在這裏沒有辦法給出一貼包治百病的萬能藥，但是有些原則可以參考。

“時機”，在這裏的意思有兩個層次，一個是孩子生長中的各種敏感期，二是在生活中、學習過程中的隨時發生學習機會之窗。

關於敏感期，有很多的文章論述過，我就不多講什麼了，有一點需要提醒的，就是敏感期並不絕對，有的時候孩子似乎錯過了敏感期，但如果家長堅持通過遊戲激發孩子，他們依舊可以有非常好的反饋，我們需要知道的是，我們的大腦是有很強的可塑性的，哪怕成年以後依舊是這樣。

其次是在日常中的機會之窗。“機會之窗”本來指的是敏感期，我在這裏借過來解釋所有能夠幫助孩子拓展學習興趣，引發孩子思考的所有機會。我們在日常教學中往往把教學活動分爲結構化活動和非結構化活動，簡單說就是課程和自主活動，而孩子大量的自我探索都在後者中完成，生活則是孩子自主活動的主要來源。

比如分一下餐桌的碗筷，清點儲蓄罐裏的硬幣，搭建積木、道路上的樹木和電線杆、樓房層數清點，各種形狀的發現，這些活動中都蘊含着大量的機會之窗，有很多啓動隨機教學的機會。這裏有一點需要提醒大家，現在有些教育觀點強調讓孩子自主性理解和學習數學，好像只要讓孩子看一看、摸一摸那些直觀的東西，就能使得孩子從具體經驗中自動發生抽象認知。這種觀點個人覺得有待商榷。

我的建議是，家長應當在適當的時候PUSH孩子，輕推一把，使得孩子可以越過具象和抽象世界的鴻溝，以達到理解抽象的程度。我們稱之爲“點撥”。

不過需要注意的是，既然說是“點撥”，切忌推着孩子走，最好的方式是“引”着孩子走，用現象中出現的矛盾和有趣現象，引導孩子一步步深入的思考。所用到的方法可以有：發散點撥、迂迴式引導、認知支架、現象歸類總結等等，但是需要注意的原則是：

注意“機會之窗”可以由家長啓動，但必須由孩子結束

引發興趣是第一要務，確保和孩子保持遊戲連結，不要變成教導或者考覈；（有些家長動不動就玩“讓我考考你”的遊戲，其實實在不好玩）

學會講故事；數學也是可以有很多想象空間的，目前市場上有很多數學類的繪本，家長可以借鑑，幫自己開開腦洞；

探討可以從問題開始，到思考結束，不必強調結論，如果可以，請孩子自己總結。

內容上可以注重數和數感、量、比較、部分整體；形、時間、空間，形式上注重關係、運動變化和具象到抽象轉換；

不要光說，要畫、要玩，要讓孩子自己說。（信息獲取中，聽的效果只佔7%）

不過話說回來，就算方法、原則都執行的非常完美，由於孩子的個體差異性，學習效果依然會千差萬別，各位爸爸媽媽難免心生焦慮，我也非常理解。

但我相信，只要我們堅持走在正確的道路上，保持信念和樂觀，孩子內在的生命必然會成長的時候，我們需要更多的耐心，給予孩子生長的時間。澆水施肥曬太陽，然後樂呵呵的等待花兒生長開花，這是種花的樂趣，不也是培育一個孩子的樂趣所在嗎？

如果真的有了問題，更不能病急亂投醫，遵循客觀規律循序漸進，打好基礎纔是正道！另外，一般來說，孩子數學思維啓蒙在中班前後，而真正的理解抽象思維要到小學三年左右，在青春期後期還有一個思維的飛躍，我們需要根據孩子不同年齡階段提供他們不同支持，對於低幼的孩子，主要的任務還是是培養數學興趣，增加數學經驗，做好啓蒙工作。

說一千道一萬，基礎非常重要，興趣更重要！祝願我們的孩子都能愛上數學，讓數學成爲他們人生道路上持久的幫助，能夠助力孩子們遠行、馳騁！