數學啓蒙中那些重要的數學思想方法,數學啓蒙其實很簡單
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在傳統的觀念裏,數學啓蒙就等同於認識數字和數數,然後再做個加減法。這不能說不對,但是太狹隘。因爲要給豆豆啓蒙數學,我也開始關心各種信息,琢磨着怎麼啓蒙才能讓豆豆喜歡上數學,並且能夠走得更遠一些。
回想自己的學生時代,數學一直是豆豆媽咪最好的一門功課。本科階段,豆豆媽咪選擇的專業是數學的一個分支—統計學,研究生階段,雖然不再學習純數學理論,但也是將統計學工具應用到具體學科中去,所以這樣算下來,豆豆媽咪和數學打了20年交道。
平心而論,大學以前的數學,對思辨性要求並不高。是的,我想說的是,大學以前的數學並不難。但是,初等和中等數學同樣有很多分枝,有的人學習起來覺得知識點好多,又散又亂,碰到一些綜合題就不知如何下手,豆豆媽咪想說的是,那只是因爲這些同學還沒“開竅”,而竅門的要訣,就在於一些貫穿始終的數學思想方法。這些數學思想方法,就像幾根線,將所有看似散亂的知識內容緊緊關聯,並且隨意串聯。
數學啓蒙的內容雖然淺顯,但背後蘊含的思想方法和中等數學是一脈相承的。豆豆媽咪覺得,在啓蒙的時候就牢牢把握這些思想方法,並且有意識地去教給小孩子,對往後的學習是大有裨益的。
當然,數學的學習是一個從具體到抽象,到再抽象的過程。數學思想方法屬於比較抽象的內容,因此本篇寫給孩子的爸爸媽媽,啓蒙的人有這些意識了,便能看清方向;對小孩子來說,數學啓蒙必須從生活中的內容開始,從“1,2,3”的數學符號,甚至從書面的刷題開始,都不是特別好的方法,如何將數學與生活結合在一起,豆豆媽咪講在下篇中和大家交流具體的實例。
大學以前,一些比較重要的數學思想方法包括:
1數形結合數學除了代數,還有非常重要的一部分內容是幾何,包括平面幾何、立體幾何。這兩者並不是相互獨立的,而是經常結合在一起。比如,幾何圖形經常需要計算它的面積體積;而看到函數,畫出它的圖像,看看它有什麼特點,通常是解題的重要方法之一。
對應到我們的數學啓蒙,教會孩子認識數字和數數是一個方面,教會孩子認識三角形、正方形、圓形是另一個方面,而把它們結合起來,又是一個方面。比如豆豆媽咪,會經常讓豆豆玩形狀拼版,有的時候讓他隨意發揮想象,有的時候讓他按照圖紙或者我的要求搭,有的時候讓他數,田字裏面有多少正方形。這些,都是要培養他對形狀和數字的感覺。
2集合和映射豆豆媽咪自己學習的時候,一直沒明白爲什麼要學習集合和映射這組概念,一直到很後面,某一天我才突然悟到,其實所有的函數(指數函數、對數函數、冪函數、三角函數、複合函數等等),以及函數的各種分解和變換,它們的本質都是集合和映射啊!
那麼對應到我們的數學啓蒙,“找出每一組中和大家不一樣的東西”、“把(顏色、形狀、大小、名稱、功能)相同的劃爲一組”等等,其實背後體現的就是集合的思想,而一個集合中的元素和另一個集合中的元素相對,具體說來就是“連線”那一類的,背後體現的思想就是映射。
3分類分類討論的思想是高中數學中非常重要一種思想方法。一般用來解決比較複雜的問題,可以把問題所涉及的對象的全體劃分爲若干兩兩不相交的部分,然後分別求解或論證,最後綜合各類結果得到整個問題的解決。其實這個方法,在諮詢公司估計某產品的市場規模的實際問題中,也常常被用到。
在數學啓蒙中,其實也有分類思想的身影。比如我給豆豆啓蒙的時候,有一個例子就是讓豆豆幫我們鞋櫃上的鞋子分類,豆豆自己分的時候,是按照爸爸的鞋子、媽媽的鞋子和豆豆的鞋子來分,這很正確。然後我還會啓發,如果按照皮鞋、跑鞋和拖鞋來分呢?於是豆豆再嘗試新的分類方法。如果按照男孩子的鞋子和女孩子的鞋子來分呢?如果按照大人的鞋子和小孩的鞋子來分呢?按照繫鞋帶的和不繫鞋帶的來分呢?按照有蝴蝶結的和沒有蝴蝶結的來分呢?這些是要告訴豆豆,同樣一組東西,按照不同標準可以有不同的分類方法。而幫助豆豆探索儘可能多的分類方法,往大了講,是讓小孩子更仔細的觀察事物,也有助於發散性思維,而功利地說,往後解題,或者實踐中估計市場規模這種問題,某一種分類方法很可能走不通,這就需要換一種分類方法。
4歸納和演繹歸納就是從個別到一般,演繹則是從一般到個別。小學奧數裏面,要求數2*2,3*3,4*4的正方形裏面有多少個正方形,如果用一類一類數:1*1的有幾個、2*2的有幾個、3*3的有幾個、4*4的有幾個,然後加總,那麼這是分類的思想,但對這類問題來說不夠高級,10*10了怎麼辦?所以終極解決方法,是歸納出通項式,這是歸納的思想方法,然後你說一個具體的大小,比如5*5,我把5代入通項式就得到答案了,就是演繹。
歸納和演繹的基礎,是仔細觀察,發現規律。對應到數學啓蒙中,找到排序規律,並預測下一個或者空缺位置上的內容,就是一個很好的例子。
--總結--
數學啓蒙的內容雖然淺顯,但同樣領域寬廣、內涵豐富,這其中涉及的不僅僅是知識,還有思想方法和能力的培養。豆豆媽咪上面提到的這些思想方法,當年都是高中學習的內容,其實我自己學習的時候,也是琢磨了好一陣子。但事實上,這些思想方法從數學啓蒙階段就可以有意識地培養和訓練。
再多講一句,大學以前的數學都屬於相對“具體”的範疇,高等數學中,數學就變成一項越來越抽象的思維運動,到後面數字都不怎麼看到了,接觸的基本都是希臘字母。豆豆媽咪作爲一個女生,在四年高等數學的學習下還可以應付從容,非常重要的一點是,豆豆媽咪從大一開始便喜歡看哲學類書籍。所以,從長遠來看,希望真正學好數學的,多看一些課外書吧,天文地理歷史文化,知識面廣,思維便靈動。
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